Golden Homolje Set za ispiranje zlata

Autor Tema: Računanje starih Egipćana  (Pročitano 2565 puta)

Van mreže Max

  • Opšti urednik
  • Heroj
  • *****
  • Poruke: 714
  • Ugled: +81/-0
Računanje starih Egipćana
« poslato: 28.08.2014. 15:36 »
Staroegipatska matematika je jedna od najranijih epoha razvoja te nauke. Posebno jedna od prvih grana matematike, geometrija, već samim svojim nazivom otkriva i svoje poreklo. To je po nastanku grčka reč koja bi, doslovno prevedena, značila "merenje zemlje". A upravo kao merenje zemlje geometrija se široko razvila već u starom Egiptu. Izreka, "Egipat je dar Nila", dovoljno je poznata. Bez blatnjavih žutih voda te reke koja je vekovima natapale zemlju, ne bi se razvila tako bogata civilizacija starog Egipta. Ali posle redovnih velikih poplava Nila, svake godine granice zemljišnih poseda bi se izbrisale i trebalo ih je ponovno odrediti – valjalo je, dakle, premeravati zemljišta. Izgradnja veličanstvenih hramova, piramida, kipova, takođe je zahtevala određena znanja iz geometrije.

Gosti ne mogu videti slike, molimo Vas da se registrujete ili ulogujete
   Gosti ne mogu videti slike, molimo Vas da se registrujete ili ulogujete

                   Slika 1.                                                           Slika 2.

O staroegipatskoj matematici saznajemo ponajviše iz dva poznata papirusa: Ahmesovog ili Rhindovog (slika 1.) i Moskovskog (Slika 2.). Rhindov papirus je 1858. otkrio škotski egiptolog Henry Rhind u Luxoru. To je zapravo svitak dužine 6 m, širine 30 cm. Pisao ga je pisar Ahmes oko 1650 god. p.n.e. i verovatno je nastao tako što je Ahmes prepisivao neki spis star 200 godina. Danas se čuva u Britanskom Muzeju u Londonu, a sadrži 87 matematičkih problema. To je jedna kompletna "studija o svim stvarima, pogled u unutrašnjost svega što postoji, saznanje o tamnim tajnama", kako piše u samom papirusu. Ahmesov papirus je zbirka tablica i vežbi, retorička u svojoj formi, koja je namenjena uglavnom učenju matematike. Sadrži vežbe iz aritmetike, algebre, geometrije i raznih merenja. Moskovski papirus otkrio je 1893. godine V. S. Golenichev. Dug je 6 m, širok 8 cm. Sadrži 25 problema, od kojih mnogi nisu čitljivi. Čuva se u Moskovskom muzeju.


Stari Egipćani su imali razvijen decimalni sistem i svoje oznake za brojeve:

Gosti ne mogu videti slike, molimo Vas da se registrujete ili ulogujete
  Gosti ne mogu videti slike, molimo Vas da se registrujete ili ulogujete

                  hijeratski znaci                                          hijeroglifski znaci

Hijeroglifskim znacima se pisalo po kamenu kako s leva na desno, tako i obrnuto, a ponkad i odozgo prema doe. Različito pisanje ne stvara probleme kod čitanja bojeva jer egipatski način pisanja brojeva nije pozicijski. Hijeratički znaci su uvedeni za brzo pisanje po papirusu, drvetu ili po grnčariji.

Osim navedenih, upotrebljavali su se povremeno i neki posebni znakovi za brojeve koji nisu dekadne jedinice. Npr. za broj dva crtali bi se goveđi rogovi, za broj pet morska zvezda, a ljudska glava bila je i oznaka za broj sedam (7 otvora).

Na poseban način su označavali razlomke, tako specifičano da nemaju sličnosti ni sa jednom drugom kulturom. Razlomak za brojilac jedan zapisivao se tako da se iznad znaka za imenilac stavljao poseban znak sa značenjem "deo". Svi razlomci pisali su se sa jediničnim broiocem, a ako to nije bilo moguće, onda su ga prikazivali kao zbir takvih.

Evo nekoliko primjera zapisa nekih brojeva:

Gosti ne mogu videti slike, molimo Vas da se registrujete ili ulogujete


Gosti ne mogu videti slike, molimo Vas da se registrujete ili ulogujete


Koristili su brojevni sistem sa bazom 10, a jedna od glavnih razlika između hijeratičkih brojeva i našeg brojevnog sistema jest da hijeratički brojevi nisu bili pisani u sistemu mesnih vrednosti, tako da su poznate mogle da budu pisane bilo kojim redosledom. Hijeratički sistem je adicijski sistem. Vidimo da se, recimo, broj 249 zapisuje kao 249 = 2 100 + 4 10 + 9, pa u zapisu imaju dva znaka za 100, četiri znaka za 10 i devet znakova za 1.


Kako su računali stari Egipćani?

Egipatski brojevni sistem nije bio pogodan za računanje, ali je trgovina zahtevala sabiranje, oduzimanje, množenje, deljenje te rad s razlomcima. Sabirati je bilo najlakše!

Sabiralo se skupljanjem istih simbola zajedno i pretvaranjem njih 10 u jedan simbol :

Gosti ne mogu videti slike, molimo Vas da se registrujete ili ulogujete


Oduzimalo se tako da se odmicao određeni broj istih simbola. Ovo je znalo da bude i komplikovano kad je moralo da se  oduzmei više simbola nego što ih je bilo prisutno u prikazu.
Npr., evo kako bi izračunali 63-38.
Od 6 desetica možemo oduzeti 3 desetice, ali možemo ukloniti samo 3 jedinice. Još nam preostaje 5 jedinica za oduzimanje.

Jedna od preostalih desetica potrebna je da se omogući oduzimanje sledećih 5 jedinica jer :
1 desetica – 5 jedinica = 10 jedinica – 5 jedinica = 5 jedinica.

Tačan mehanizam oduzimanja koji su koristili nije sasvim jasan, iako ova ilustracija pokazuje kojim je redosledom pisar mogao provesti oduzimanje.

Gosti ne mogu videti slike, molimo Vas da se registrujete ili ulogujete


Množenje prirodnih brojeva odaje nam da su se služili i potencijama broja 2. Stari Egipćani množili su dva broja koristeći udvostručavanje brojeva. Pogledajte sliku.

Gosti ne mogu videti slike, molimo Vas da se registrujete ili ulogujete


U plavom pravougaoniku prikazan je njihov zapis, a sivi pravougaonik i račun ispred pravougaonika objašnjava metodu.

Broj su udvostručavali sabirajući ga samog sa sobom, dakle samo su zapisali brojeve jedan ispred drugoga i pretvorili svakih 10 istih simbola.

Kako nisu imali razvijen pozicijski zapis brojeva, moramo priznati starim Egipćanima veliku spretnost i ekonomičnost u računanju.

Deljenje kod starih Egipćana zahtevalo je korišćenje množenja i vrlo često upotrebu razlomaka. Pogledajmo prvo primer deljenja kad je rezultat ceo broj.

Gosti ne mogu videti slike, molimo Vas da se registrujete ili ulogujete


Razmišljanje je sledeće:

• 125 predeljeno sa 5 daje isti rezultat kao 5 pomnoženo sa ?? = 125

• množi 5 uzastopno sa množiocima od 2 sve dok ne dobaješ 125 (kao kod množenja)

• zbir crveno označenih brojeva u plavom pravougaoniku daje rešenje.

Ova metoda temelji se na jednostavnoj matematičkoj činjenici koja je bila poznata i egipatskim pisarima, a to je da su množenje i deljenje inverzne operacije, tj.
a∙b = c ako i samo ako je c : b = a.

RAZLOMCI

Na poseban način su označavali razlomke, tako specifičan da nema sličnosti ni sa jednom drugom kulturom. Razlomak sa broilacom jedan zapisivao se tako da se iznad znaka za imenioc stavio poseban znak sa značenjem “deo”. Svi razlomci pisali su se sa jediničnim broilacom, a ako to nije bilo moguće, onda su ga prikazivali kao zbir takvih.

Gosti ne mogu videti slike, molimo Vas da se registrujete ili ulogujete


Kad je pisar morao da računa sa razlomcima, bio je suočen sa mnogim problemima, uglavnom vezanim za njihovo zapisivanje. Njihove metode zapisivanja nisu im dopuštale da pišu jednostavne razlomke kao što su 3/5 ili 15/33 zato što su svi razlomci morali biti prikazani sa broilacom 1. Ako to nije bilo moguće, onda se razlomak morao zapisati kao zbir razlomaka sa broilacom 1. Razlika u tome je bio razlomak 2/3. Razlomci su zapisivani tako da je iznad imenioca stavljen hijeroglif koji je označavao “otvorena usta”Gosti ne mogu videti slike, molimo Vas da se registrujete ili ulogujete
 . Danas pojednostavljeno razlomke sa jedinicom u broiocu pišemo sa kosom crtom iza koje sledi imenioc, npr. 1/2 zapisujemo kao /2, 1/4 kao /4, dok se razlika, 2/3, piše //3.

Stari Egipćani verovali su da ih “Rx” simbol, tj. simbol boga Horusa štiti od zla. Zato su i u matematiku ugradili simboliku pa su razvili i svojevrstan brojevni sistem koji se koristio za prepisivanje lekova, podelu zemlje ili semenja. Razlomke su stvarali tako što su kombinovali pojedine delove simbola oka boga Horusa. Svaki deo imao je različitu vrednosti. Celokupni simbol oka ima vrednosti 1, a ceo sistem se temelji na podeli na polovine. Pola od 1 je 1/2, pola od 1/2 je 1/4, itd. sve do 1/64.
Npr., da bismo prikazali razlomak 5/8, kombinujemo razlomke 1/8 i 1/2.

GEOMETRIJA

Gosti ne mogu videti slike, molimo Vas da se registrujete ili ulogujete


Posmatramo li fantastične građevine koje su stari Egipćani ostavili u prilog svetskoj baštini, ne možemo a da se ne zapitamo koliko su dobro imali razvijenu geometriju, stereometriju i sve ono što im je bilo potrebno za izgradnju piramida i hramova.

Znamo da su znali da računaju nagib piramide, obim zarubljene piramide kao i obim piramide. Računali su površinu trougla kao 1/2 množenjem dve kraće stranice (što važi samo za pravougaon trougao); mala odstupanja nisu im značila previše. Znali su da izračunaju i površinu pravougaonika kao proizvod dužina njegovih stranica.

Ono što jeste fascinantno, a pronađeno je u Ahmesovom papirusu, je kako su računali površinu kruga:
• pretpostavimo da krug ima dijametar od 9 kheta (khet je jedinica za duljinu),
• uzmi 1/9 dijametra, dakle 1,
• ostatak je 8,
• pomnoži 8 sa 8,
• dobaješ 64 i to je površina!

Kad bi smo to zapisali savremenim matematičkim jezikom, P = (8/9 x dijametar)2, i uporedili rezultat sa egzaktnom formulom za izračunavanje površine kruga P = r2π, dobili bi smo zanimljiv rezultat, stari Egipćani su gotovo 1000 godina pre stvarnog otkrića broja π znali njegovu približnu vrednost. Naime, po njihovim računima π bi iznosio približno 3.1605!

Evo i načina na koji se može dobati formula slična egipatskoj za površinu kruga. Upoređujemo krug sa kvadratom:
• precnik kruga je 9, dakle, opiši mu kvadrat stranice dužine 9
• predeli svaku stranicu kvadrata na trećine
• formiraj osmougao kao na slici
• površina dobavenog osmougla približno je jednaka površini kruga
• površina osmougla jednaka je površini kvadrata umanjena za dva mala kvadrata sačinjena od 4 “odsečena” trougla

Gosti ne mogu videti slike, molimo Vas da se registrujete ili ulogujete


ALGEBRA

Staroegipatska algebra bila je retorička, problemi i rešenja data su rečima. Znali su da rešavaju jednačine prvog stepena s tim da su obavezno sprovodili analizu i sintezu pri rešavanju, tj. svako rešenje su uvrštavali u početni problem da se uvere da to zaista i jeste pravo rešenje.

Stari Egipćani nisu poznavali oznake za množenje, deljenje, jednakost, drugi koren, decimalnu tačku, nisu čak ni znali za “obični” razlomak p/q, nisu se pitali zašto nešto funkcionise, nisu tražili univerzalnu istinu formulisanu simbolima koji bi jasno i logički pokazali njihov misaoni proces. Ali su se zato koristili i sedocifrenim brojevima, imali su neku čudnu mešavinu jednostavnosti i čudne komplikovanosti u svojim računima, ali taj koncept se pokazuje kao potpuno jedinstvena i zatvorena celina.

Zato se može reći da je egipatska matematika jedini sačuvani čist primerak računske tehnike koja je bila vrlo razvijena, koja u čitavom svom razvoju nije doživela nikakav bitni diskontinuitet, već se u potpunosti temelji na osnovi računanja – na brojenju i pojmu razlomka.
Gosti ne mogu videti slike, molimo Vas da se registrujete ili ulogujete